面白い!無限になることを証明する方法

１＋１/２＋１/３＋１/４・・・・

１/２は「２分の１」です。この足し算が無限になることを証明しようというのです。証明に成功した数学者は複数おり、そのやり方も複数ありますが、その中で

面白い

と私が思う方法を提示します。

この式は、数が右に行くに連れてだんだんと小さくなっていきます。たとえば、

１／５３４３９４３９２０４８２０２９０

なんて数もいずれは出てくるわけです。どんどん小さくなっていく数字を足し続けると無限になる、そんなことを証明したわけです。

次の式をみてください。

１＋１/２+１/３+１/４＞１＋１/２+１/４+１/４

左の式の「１/３」のところが、右の式では「１/４」になっています。「１/３」の方が「１/４」よりも大きい（ピザを買ってきて、３等分した方が４等分するよりも大きいですよね）ので、左の式の方が大きくなります。

右の式「１+１/２+１/４+１/４」はイコール「１+１/２+１/２」です。

１/４+１/４=１/２

ですから。

ということは

１＋１/２+１/３+１/４＞１＋１/２+１/２

となります。
同じ要領で「１＋１/２+１/３+１/４+１/５+１/６+１/７+１/８」を考えます。

１＋１/２+１/３+１/４+１/５+１/６+１/７+１/８
>１+１/２+１/４+１/４+１/８+１/８+１/８+１/８

「１＋１/２+１/３+１/４＞１＋１/２+１/４+１/４」が成り立つことがわかりましたが、左辺に「１/５+１/６+１/７+１/８」を加え、右辺に「１/８+１/８+１/８+１/８」を加えました。

左辺の方が大きいのはわかりますか？

１/４+１/４=１/２
１/８+１/８+１/８+１/８＝１/２

ですから

１＋１/２+１/３+１/４+１/５+１/６+１/７+１/８
>
１+１/２+１/２+１/２

となります。

さて太字にした２つの式から、何が見えてくるでしょうか。

１～１/１６まで足すと、その数は１+１/２+１/２+１/２+１/２（１/２が４個）よりも大きくなります。

では１～１/３２まで足すと・・・１/２は○個になりますよね（○がいくつになるか考えてみてください）。

それを無限に続けると、

１～１／無限まで足すと、その数は１＋１/２+１/２（１/２が無限個）よりも大きい

ということが言えるわけです。「１＋１/２+１/２（１/２が無限個）」は、１/２を無限個足すわけですから無限となります。だとすれば、無限よりも大きい左辺も無限となるわけです。

よって

「１＋１/２＋１/３＋１/４・・・・が無限になる」ことが証明されました。