対角線は何本？対角線はどういう線かを考える

数学検定２級の問題（高校２年生レベル）を解いていたらこんな問題がありました。

２１角形の対角線は何本？

多角形の対角線の本数。確かに高校生のときに習った記憶があるし、きっと公式も覚えたに違いない。しかしすっかり忘れている。

とりあえず、紙に、四角形、五角形、六角形を書いて対角線を引いてみる。そしてそれをじっとながめる。

そこで気が付いたのは、対角線というのは

多角形において一点から両隣以外の点に引いた線

ということです。つまり、一点から引くことのできる対角線の本数は、その一点と両隣の二点の３点を引いた数になります。五角形を例にとると、一点から引くことのできる本数は５－３＝２で２点です。五角形ですから頂点は５つあるので、５×２＝１０。ただ、実際の本数はその半分の５本です（その理由は考えてみてください）。

さて、２１角形の対角線ですが、上の法則に従って、２１×（２１－３）＝３７８で、その半分ですから1８９本ということになります。