塾技で遊ぶ(反比例)
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最終更新日:2019/07/10
コラム
問題 pは定数とする。yはxに反比例し、x=3のときy=3+p,x=5のときy=5+pである。比例定数の値を求めなさい。(都立日比谷高校)
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反比例の比例定数はx×yで簡単に求めることができます。これはグラフにすると4点(0,0)(x,0)(0,y)(x,y)を頂点とする長方形の面積を求めることに他なりません。問題からそれぞれ面積を求めそれを=で結ぶと、
3(3+p)=5(5+p)
これを解くとp=-8、そして比例定数は-15になります。
ちなみにグラフの式は
\[ y=-\frac{15}{x} \]
となります。この微分をとると、
\[ y’=\frac{15}{x^2} \]
です。微分というのはグラフの接線の角度を求めるということです。ですから、角度の求め方より、
\[ -\frac{y}{x}=\frac{15}{x^2} \]
これを解くと、
\[ x^2y+15x=x(xy+15)=0 \]
xは0ではありませんからxy=-15、比例定数が出てきました。
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