塾技で遊ぶ(反比例)

公開日: : 最終更新日:2019/07/10 コラム


問題 pは定数とする。yはxに反比例し、x=3のときy=3+p,x=5のときy=5+pである。比例定数の値を求めなさい。(都立日比谷高校)




塾技で遊ぶ!




反比例の比例定数はx×yで簡単に求めることができます。これはグラフにすると4点(0,0)(x,0)(0,y)(x,y)を頂点とする長方形の面積を求めることに他なりません。問題からそれぞれ面積を求めそれを=で結ぶと、




3(3+p)=5(5+p)




これを解くとp=-8、そして比例定数は-15になります。




ちなみにグラフの式は




\[ y=-\frac{15}{x} \]




となります。この微分をとると、




\[ y’=\frac{15}{x^2} \]




です。微分というのはグラフの接線の角度を求めるということです。ですから、角度の求め方より、




\[ -\frac{y}{x}=\frac{15}{x^2} \]




これを解くと、




\[ x^2y+15x=x(xy+15)=0 \]




xは0ではありませんからxy=-15、比例定数が出てきました。





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