条件付き確率を考えてみた

数学と英語については学校で習ったことを忘れないように、毎年センター試験の問題を解くようにしています。英語はほとんど満点がとれるのですが、数学の場合は三角関数の公式など忘れているので点数にはこだわりません。とはいえ、センター試験レベルでまったく意味が分からないということはありません。

そんな中、ぶつかったのが「条件付き確率」です。私が高校生だった２０年以上前に習った記憶がありません。

調べてみるとこういうことでした。

サイコロを振りましたが出目を見逃してしまいました。友人が「偶数だった」と教えてくれました。出目が４以上の確率は？

解き方としては、

A：偶数である確率＝１／２

B：偶数かつ４以上である確率＝１／３

B／A＝１／３÷１／２＝２／３

これは直観でもわかります。「偶数だった」とわかった時点で可能性は２か４か６の３つ。そのうち４か６の２つなので２／３です。

条件付き確率でモンティホール問題を考えてみた

ここからは、自分の思考として、この方法でモンティホール問題を考えてみました。結果は合っていますが、考え方が正しいかどうかはプロに検証してもらわないとわかりません。

モンティホール問題というのは、題材は変えていますがこのような問題です。

私は娘にプレゼントのぬいぐるみを用意しました。A、B、Cの３つの箱を準備し、そのどれかの箱にぬいぐるみを入れ、娘に選んでもらいます。娘が選んだら（たとえばAを選ぶ）、私はA以外のBかCの空の箱を娘にみせます。ここで、娘は選択を変えない（Aのまま）にしたほうがいいのか、変えたほうがいいのか、つまりどちらが当たる確率が高いか、という問題です。

変えない場合の当たる確率は１／３。これはすぐにわかります。ですから、変える場合の確率を計算してみます。

A、当たる確率は１／２

B、最初選んだときはハズレを選んで次に（変更して）当たりを選ぶ確率

２／３×１／２＝１／３

条件付き確率の公式で計算すると

B／A＝１／３÷１／２＝２／３

よって、変えない場合は１／３、変える場合は２／３なので、変えたほうが当たる確率が高い、ということです。

ここまで自分で考えてみると、「そりゃあそうだ」ぐらいの感じになります。最初から変えないつもりで選ぶことを考えると、１回で当たりを引かないといけないので１／３。変えるつもりで選ぶことを考えると１回目はハズレを引かないといけないので２／３です。