楽問のすすめ　モンティホール問題

本当？のモンティホール問題は、扉を開けると羊が・・・という設定ですが、
ここでは、娘へのプレゼントという設定にします。

３つの箱。そのうち２つは空でひとつだけプレゼントが入っています。
娘には３つのうち１つ選んでもらって、プレゼントをゲットしてもらう、という設定です。
もちろん父親の気持ちとしては最後には、当たろうが外れようがプレゼントを渡しますが。

手順は以下のとおり。箱をA、B、Cとします。
１、娘が箱をひとつ選ぶ（Aを選んだとします）
２、私は残りの２つの箱から空のほうを選んで開ける（Bを開けたとします）
３、私は娘に問います。選ぶ箱をAからCに変更してもいいです
さて、娘はAを選ぶべきでしょうか？Cを選ぶべきでしょうか？

正解はCを選ぶべきです。つまり選ぶ箱を変えるべきです。

理由をじっくり考えたい方は、この先は読まないようにしてください。









まず、最初に思うのが、「どちらを選んでもいい（同じこと）」ということです。
なぜなら、最初にAを選んだ時点で、その箱にプレゼントが入っているか入っていないかは
決まっているはずです。だから、「変えたからプレゼントが当たりやすくなる」というのはおかしい。

メンタリストのダイゴさんならば相手の顔をみてどれが当たりか簡単にわかりそうですが
それはなしとします。

次に、私はここまではわかりましたが、当たる確率を考えるとCに変更をしたほうが
当たりやすくなるとわかります。
最初にAを選んだ時点では、３つのうちひとつが当たりですから、当たる確率は

１／３（３分の１）

です。
次に、私が空箱（B）を開けると、AかCのどちらかが当たりということですから、
当たる確率は

１／２

つまり、当たる確率が高くなる。だから変えたほうがいいというわけです。

ところが、答えは違うものでした。変えたほうがいい、というのはそうなのですが、
理由は違います。

当たりが、A、B、Cのどの箱に入っているか、それぞれのパターンを考えましょう。

１、当たりがAに入っている場合
娘はAを選んでいますから、
（選ぶ箱を）変えない―当たる
変える―当たらない

２、当たりがBに入っている場合
変えない―当たらない
変える―当たる

３、当たりがCに入っている場合
変えない―当たらない
変える―当たる

３つのパターンのうち
２つは変えることで当たるわけですから、
その確率は

２／３

そう、変えるときの当たる確率は１／２ではなく
２／３なのです。