2019年埼玉高校入試数学より「数えればいいというものではなかった」

「中学数学の確率は数えればなんとかなる」という考えが甘かったのが、「2019年埼玉県高校入試数学大問２（２）」です。問題を簡単に書くと、

９枚のカードから３枚を選び、その和が３で割り切れる場合はいくつあるか

これを数えて解こうと思うと、「9×8×7×1／3＝168」、つまり168個の数字を検証しなければなりません。現実的には、168という数字がまず求められないと思うので、「数えれば解けるぞ！」→「書いても書いても終わらない」→「嫌気がさす」→「イライラして次の問題にも影響する」ということにもなりかねないのです。

それでも数えて解く・・・

こういう数え方を提案します。

カードを3枚選んで足した場合、最小の数は「1+2+3=6」、最大の数は「7+8+9=24」です。その間の３の倍数は「9,12,15,18,21」です。

6の場合、３つの数は{1,2,3}の一通り。9の場合は{1,2,6}{1,3,5}{2,3,4}の三通り。12の場合{1,2,9}{1,3,8}{1,4,7}{1,5,6}{2,3,7}{2,4,6}{3,4,5}の七通り。15の場合{1,5,9}{1,6,8}{2,4,9}{2,5,8}{2,6,7}{3,4,8}{3,5,7}{4,5,6}の八通り。18の場合{1,8,9}{2,7,9}{3,6,9}{3,7,8}{4,5,9}{4,6,8}{5,6,7}の七通り。21の場合{4,8,9}{5,7,9}{6,7,8}の三通り。24の場合{7,8,9}の一通り。

よって、すべてあわせて30通りとなります。私は10分くらいで数えることができました。

ひとつ気が付いたのが、「通り」の数を並べてみると、

１　３　７　８　７　３　１

と規則性があるようです。これは日を改めて検証してみます。